행렬 간의 관계

Chapter 6 : Matrix Approximation

Edited by / 서원형 (wonhyeongseo)

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• 목차

  1. 대각화 가능 행렬
  2. 에르미트 행렬

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챕터 2에서 선형대수와 챕터 3에서 해석기하학의 기초를 배웠습니다. 이번 챕터에서는 행렬과 선형 사상의 기본적인 특성들을 살펴보았어요.

그림에서 보시듯, 서로 다른 종류의 실수 행렬 $A \in \mathbb{R}^{n \times m}$ 간의 관계를 화살표로 (포함관계는 실선)와 각 행렬에 할 수 있는 연산들을 파란색으로 표시했습니다.

• 정사각행렬이 아닌 경우 (i.e. $n \neq m$ ), SVD는 항상 존재합니다.
• $n \times n$ 정사각행렬이라면,
  1. 행렬식을 구해 역행렬이 존재하는지 확인 (i.e. 가역/정칙/비특이 행렬에 속하는지)
  2. 만약 n개의 선형독립적인 고유벡터들을 갖는다면, 대각화가 가능하고 고유값 분해가 존재한다는 뜻입니다 (정리 4.12).
     • 같은 고유값이 여러개라면 대각화가 불가능할 수도 있습니다.

가역 행렬 과 대각화 가능 행렬 은 같지 않습니다. 예를 들어 회전변환행렬은 가역행렬이지만 (행렬식 $\neq 0$), 대각화가 실수에서 가능하지 않을수도 있습니다 (고유값 $\notin \mathbb{R}$).

대각화 가능 행렬

$n \times n$ 대각화 가능 행렬로 더 깊게 탐구할 예정입니다.

• $A^{\top} A = A A^{\top}$ 이 만족하면 정규 행렬입니다.
• $A^{\top} A = A A^{\top} = I$ 까지 만족하면 직교 행렬입니다.
• $A^{\top} = A^{-1}$ 이 성립하고 가역 행렬이라면 직교 행렬입니다. (직교 행렬 $\in$ 가역 행렬)

에르미트 행렬

대각화 가능 행렬에서 자주 볼 수 있는 부분집합은 $S = S^{\top}$ 을 만족하는 에르미트 행렬 $S \in \mathbb{R}^{n \times n}$ 입니다. 에르미트 행렬은 항상 고유값이 실수입니다. 에르미트 행렬의 부분집합들 중 눈여겨 볼만한

• $x^{\top} P x > 0

  \forall x \in \mathbb{R}^{n} \backslash { 0 }$ 를 만족하는 양의 정부호 행렬 $P$ 인 경우, 유일한 숄레스키 분해가 존재합니다. (정리 4.18) 양의 정부호 행렬은 오직 양수인 고유값만을 가지고 항상 가역적입니다. (i.e. 행렬식 $\neq 0$)

• 대각행렬 은 (가역적이고 모든 주대각선의 원소가 0이 아닐 경우를 제외하고) 곱셈과 덧셈으로 이루어진 부분군입니다.
  • 단위행렬 은 주대각선의 원소가 모두 1인 대각행렬의 특정 부분집합입니다.

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