행렬식과 대각합

Chapter 1 : Determinant and Trace

Edited by / 장성준 (junnei)

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• 목차

  1. 행렬식(Determinant)
  2. 행렬식의 기하학적 의미
  3. 라플라스 전개(Laplace expansion)

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행렬식(Determinant)

행렬식(Determinant)도 역시나 선형 대수의 중요한 컨셉이다.

행렬식은 행과 열의 수가 같은 정사각행렬에서만 정의되는데,

행렬식을 표현할 때에는 $\det{(\boldsymbol{A})}$ 로 표기하거나, $\begin{vmatrix}A\end{vmatrix}$로 표기하곤 한다.

$$\det{(\boldsymbol{A})} = \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \end{vmatrix}$$

행렬식이 무엇인지에 알아보기에 앞서, 어떻게 구할 수 있는지 몇 가지 사례와 함께 살펴보도록 하자.

행렬 $A$ 가 $2 \times 2$ 행렬일 때의 행렬식 $\det{(\boldsymbol{A})}$ 는 아래와 같다.

$$\det{(\boldsymbol{A})} = \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{vmatrix} = a_{11}a_{22} - a_{12}a_{21}$$

행렬식의 값을 계산해보면, ‘$a_{11}a_{22} - a_{12}a_{21}$’ 라는 익숙한 수식이 나온다.

혹시 어디에서 봤는지 기억나지 않는다면 행렬 $A$ 의 역행렬 $A^{-1}$ 을 구할 때의 식을 생각해보자.

$$A^{-1} = \frac{1}{a_{11}a_{22} - a_{12}a_{21}}\begin{bmatrix} a_{22} & -a_{12} \\ -a_{21} & a_{11} \end{bmatrix}$$

행렬 $A$ 의 역행렬 $A^{-1}$ 이 존재하려면 $a_{11}a_{22} - a_{12}a_{21} \neq 0$ 의 조건을 만족해야 하는데,

‘역행렬 $A^{-1}$ 이 존재할 조건식’ 과 ‘행렬 $A$ 의 행렬식을 구하는 식’ 이 똑같이 생긴 것을 확인할 수 있다.

행렬식(Determinant)은 행렬의 역행렬 존재여부에 대한 판별값 역할을 한다.

즉, 어떤 정사각행렬에서 $\det{(\boldsymbol{A})} = 0$ 이면 역행렬을 가지지 않고, $\det{(\boldsymbol{A})} \neq 0$ 이라면 역행렬을 가지는 것이다.

그럼 행렬식의 정의는 무엇일까?

사실 행렬식은 딱히 정의가 존재하지 않는다.

그냥 특별한 계산식에 따라 행렬의 원소들을 대입하여 얻어진 값이기 때문이다.

다만 그 결과값이 행렬의 특성을 결정짓는 중요한 값이기에 행렬식(Determinant)이라 부른다.

행렬 $A$ 가 $n \times n$ 의 정사각행렬일 때 각각의 $\det{(\boldsymbol{A})}$ 는 다음과 같다.

$n = 1$ 인 경우, $\det{(\boldsymbol{A})} = \det{(a_{11})} = a_{11}$

$n = 2$ 인 경우, $\det{(\boldsymbol{A})} = \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{vmatrix}= a_{11}a_{22} - a_{12}a_{21}$

$n = 3$ 인 경우, $\det{(\boldsymbol{A})} = \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{vmatrix} = \begin{matrix} a_{11}a_{22}a_{33} + a_{21}a_{32}a_{13} + a_{31}a_{22}a_{33} \\ -a_{31}a_{22}a_{13} - a_{11}a_{32}a_{23} - a_{21}a_{12}a_{33} \end{matrix}$

사루스 법칙(Sarrus' rule)

사루스 법칙은 3×3 행렬식을 계산하는 공식 중 하나이다.
3차 정사각행렬 외에는 적용할 수 없지만, 쉽게 사용가능해 많이 사용되는 공식이다.

계산법은 다음 과정을 따른다.

아래와 같은 행렬 A가 존재할 때, 행렬 A의 1열과 2열을 차례대로 4열과 5열에 각각 써준다. $$A = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{pmatrix} \Rightarrow \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} & a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} & a_{21} & a_{22} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} & a_{31} & a_{32} \end{pmatrix}$$ 그리고 다음과 같이 대각선을 긋고, 같은 대각선에 위치한 성분끼리 곱해다.

즉, ↘ 방향의 파란색 대각선들의 결과값은 더해주고, ↙방향의 빨간색 대각선들의 결과값은 빼준다.

최종적으로, 아래와 같이 원하는 행렬식의 결과값을 얻을 수 있다. $$\det{(\boldsymbol{A})}=a_{11}a_{22}a_{33} + a_{21}a_{32}a_{13} + a_{31}a_{22}a_{33} - a_{31}a_{22}a_{13} - a_{11}a_{32}a_{23} - a_{21}a_{12}a_{33}$$
사루스 법칙은 3차원 벡터의 외적 및 회전에서 유용하게 사용된다.

더 자세한 내용은 행렬식에 대한 나무위키 문서를 참고하자.

행렬식의 기하학적 의미

사실 행렬식(Determinant)은 기하학적으로 부피(Volume)와 관련이 있다.

행렬식의 결과값은 2D 공간에서는 넓이를, 3D 공간에서는 부피 그 자체를 의미한다.

먼저 아래와 같이 행렬 $A$ 가 $2 \times 2$ 의 행렬일 경우를 살펴보자.

$$A = \begin{bmatrix} 4 & 1 \\ 2 & 3 \end{bmatrix},\quad v_1=\begin{bmatrix} 4 & 1 \end{bmatrix},\quad v_2=\begin{bmatrix} 2 & 3 \end{bmatrix}$$

이 때의 행렬식의 값은 두 행(row)벡터로 만들어지는 평행사변형의 넓이가 된다.

$$\begin{matrix} in \; 2 \times 2 \; matrix: \\ \det{(\boldsymbol{A})}=area \; of \; parallelogram \end{matrix}$$

아래의 그림을 참고하면 쉽게 이해할 수 있을 것이다.

그림1 두 행벡터로 만들어지는 평행사변형 [출처 Reference]

과연 정말 같을까? 두둥

그런데 행렬식과 평행사변형의 넓이가 과연 똑같을까? 수학적 증명와 함께 차근차근 알아보도록 하자.
먼저 평행사변형의 넓이 공식은 '(밑변) x (높이)' 이고, 위의 예제에서는 아래와 같다.

그림1.1 행렬식과 평행사변형 넓이의 관계 [출처 Reference]

이 때의 넓이는 '$\left\| \boldsymbol{v_1} \right\| \left\| \boldsymbol{v_2} \right\| sin \theta$ ' 으로 아래와 같은 과정을 통해 값을 구할 수 있다.

먼저, 두 벡터의 사이각을 구하기위해 벡터의 내적을 이용한다. $$\boldsymbol{v_1} \cdot \boldsymbol{v_2} = \left\| \boldsymbol{v_1} \right\| \left\| \boldsymbol{v_2} \right\| cos \theta = \begin{bmatrix} 4 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 2 & 3 \end{bmatrix} = 11$$
이 때 $\left\| \boldsymbol{v_1} \right\| = \sqrt{17}, \; \left\| \boldsymbol{v_2} \right\| = \sqrt{13}$ 이므로, $$\left\| \boldsymbol{v_1} \right\| \left\| \boldsymbol{v_2} \right\| sin \theta = \sqrt{\left(\left\| \boldsymbol{v_1} \right\| \left\| \boldsymbol{v_2} \right\| sin \theta \right)^2} = \sqrt{\left(\left\| \boldsymbol{v_1} \right\| \left\| \boldsymbol{v_2} \right\| \right)^2 - \left(\left\| \boldsymbol{v_1} \right\| \left\| \boldsymbol{v_2} \right\| cos \theta \right)^2}$$ $$= \sqrt{17 \times 13 - 11^2} = \sqrt{100} = 10.$$
결론적으로, 행렬식 $\det{(\boldsymbol{A})}$ 는 아래와 같이 평행사변형 넓이와 동일한 값을 가지는 것을 알 수 있다. $$\det{(\boldsymbol{A})}= 4 \times 3 - 1 \times 2 = 10.$$

더 자세히보기 - 증명(Proof)

임의의 행렬 $A = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}$ 에 대해서, $$\begin{matrix} \det{(\boldsymbol{A})} = ad - bc \\ \boldsymbol{v_1} \cdot \boldsymbol{v_2} = \left\| \boldsymbol{v_1} \right\| \left\| \boldsymbol{v_2} \right\| cos \theta = ac + bd \\ \\ \left\| \boldsymbol{v_1} \right\|^2 = a^2 + b^2 \\ \left\| \boldsymbol{v_2} \right\|^2 = c^2 + d^2 \\ \\ \left\| \boldsymbol{v_1} \right\|^2 \left\| \boldsymbol{v_2} \right\|^2 sin^2 \theta \\ \begin{align} \qquad\qquad\qquad\qquad &= (a^2 + b^2)(c^2 + d^2)(1-cos^2 \theta) \\ &= (a^2c^2 + b^2d^2 + a^2d^2 + b^2c^2) - (ac + bd)^2 \\ &= (a^2c^2 + b^2d^2 + a^2d^2 + b^2c^2) - (a^2c^2 + b^2d^2 + 2abcd) \\ \end{align} \\ = (a^2d^2 + b^2c^2 - 2abcd) \\ = (ad - bc)^2 = (\det{(\boldsymbol{A})})^2 \end{matrix}$$ $$\left| \det{(\boldsymbol{A})} \right| = area \; of \; parallelogram$$
조금 더 자세히 알아보자면,
행렬식의 값이 양수이면 $\boldsymbol{v_1}$ 이 $\boldsymbol{v_2}$ 의 시계방향에 있는 오른손 좌표계, 음수이면 반대로 왼손 좌표계가 된다.

마찬가지로, 행렬 $A$ 가 $3 \times 3$ 일 때는, 아래 그림과 수식을 참고하자.

$\boldsymbol{r} = \begin{bmatrix} 2 \\ 0 \\ -8 \end{bmatrix}, \quad \boldsymbol{g} = \begin{bmatrix} 6 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix}, \quad \boldsymbol{b} = \begin{bmatrix} 1 \\ 4 \\ -1 \end{bmatrix}$ 일 때,

행렬 $A$ 와 같이 나타내면 행렬식을 이용해 다음과 같이 부피를 쉽게 구할 수 있다.

$$\boldsymbol{A} = [\boldsymbol{r},\boldsymbol{g},\boldsymbol{b}]= \begin{bmatrix} 2 & 6 & 1 \\ 0 & 1 & 4 \\ -8 & 0 & -1 \\ \end{bmatrix}$$ $$V = \left| \det{(\boldsymbol{A})} \right| = \left| (-2 -192) - (-8) \right| = 186.$$

라플라스 전개(Laplace expansion)

위의 내용에서 행렬 $A$ 가 $n \times n$ 의 정사각행렬일 때 각각의 $\det{(\boldsymbol{A})}$ 에 대해 알아보았는데,

사실 우리는 아직 1차, 2차, 3차 정사각행렬에 대한 행렬식 풀이법만 알아보았다.

그렇다면 $n > 3$ 인 경우에는 행렬식을 얻기 위해서는 어떻게 풀이해야할까?

라플라스 전개(Laplace expansion)를 이용하면 $n \times n$ 정사각행렬의 행렬식을 $(n-1) \times (n-1)$ 정사각행렬의 행렬식들에 대한 식으로 전개할 수 있다.

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