일차원 미분
기본적인 일차원 미분에 대해 알아본다.
Edited by / 최원준 (jo0n-lab) 
강찬희 (CSJasper) 
미분의 정의
\begin{equation} \tag{1} \frac{df}{dx}=f^\prime (x)=\lim \limits_{h\to 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h} \end{equation}
👀 분모와 분자가 0으로 점근하는 것에 주목하자. 👀
위의 식은 미분의 정의이다. 우리가 아는 미분은 모두 저 식으로부터 기반한다. 즉, 이번 장에서 다루는 모든 내용 또한 위의 식으로부터 모두 유도할 수 있다. 5장의 전반을 위의 식으로부터의 유도를 통해 하나의 논리로 풀어나갈 것이다.
일차원 일변수 미분
다음의 예시를 확인하자.
\[y=x^2\; (x\in \mathbb{R})\\ \frac{dy}{dx}=?\]
미분의 정의(1)을 활용하면, 다음을 얻는다.
\[\frac{dy}{dx}=\lim \limits_{h \to 0} \frac{(x+h)^2-x^2}{h}=\lim \limits_{h \to 0}\frac{2xh+h^2}{h}=\lim \limits_{h \to 0} (2x+h)=2x\]
$y$ 가 $x$만의 함수인 관계를 ‘$x$에 대한 일변수 함수 $y$’ 라 하고 $y=f(x)$ 로 표현한다.
일차원 일변수 연쇄법칙
다음의 미분에 대해 생각해보자.
\[f(x)=x^2,\;\;g(x)=(x+1)^2\\ h(x)=g\circ f(x)=g(f(x))=(x^2+1)^2\\ \frac{d}{dx}h(x)=\frac{d}{dx}g(f(x))=?\]
함수 안에 함수가 들어가 있는 형태를 합성함수라고 한다.
합성함수의 미분 또한 (1)을 적용해 유도할 수 있다.
\[\begin{align} \frac{d}{dx}g(f(x)) &=\lim \limits_{h \to 0} \frac{g(f(x+h))-g(f(x))}{h}\\ &=\lim \limits_{h \to 0} \frac{g(f(x+h))-g(f(x))}{f(x+h)-f(x)}\cdot\frac{f(x+h)-f(x)}{h}\\ &=g^\prime(f(x))\cdot f^\prime(x)\\ \end{align}\] \[g^\prime(x)=2(x+1),\;\;f^\prime(x)=2(x)\;\; \\ \therefore \frac{d}{dx}g(f(x))=g^\prime(f(x))\cdot f^\prime(x)=2(2x+1)=4x+2\]
안쪽 함수에 대한 미분이 곱해지는 것을 확인할 수 있다.
\begin{equation}
\frac{d}{dx}h(g(f(x)))=h^\prime(g(f(x)))\cdot g^\prime(f(x))\cdot f^\prime(x)
\end{equation}
와 같이 ‘( )’ 이 하나 벗겨질 때마다 안쪽 함수의 미분을 곱하는 형태가 된다.
이처럼 합성된 함수의 개수에 따라 연쇄적으로 미분이 이뤄지므로 "연쇄법칙" 이라고 한다.
일반적으로 다음과 같이 주어진다.
\[y=x^2\;\;\;x=3s+1\;\;\;s=t^3+1\\ \frac{dy}{dt}=\frac{dy}{dx}\frac{dx}{ds}\frac{ds}{dt} =2x\cdot 3\cdot 3t^2\]
이것도 합성함수 미분의 다른 형태일 뿐 같은 개념임을 숙지하자.
일차원 다변수 미분(편미분)
앞선 예시에서는 $y=f(x)$ 처럼, 함수가 하나의 변수에 의해 결정되는 일변수 함수에 대한 미분에 대해 알아보았다. 다음의 예시를 보자.
\[C=x^2+y^2\]
위의