연립 일차 방정식
Chapter 1 : Systems of Linear Equations
Edited by / 장성준 (junnei) 
연립 일차 방정식의 일반형
연립 일차 방정식은 선형대수의 아주 중요한 역할을 한다.
많은 문제들은 선형방정식으로 표현될 수 있고, 우리는 선형대수를 통해서 많은 문제들을 쉽게 풀 수 있다.
다음 예시 2.1 와 함께 알아보자.
예시 2.1
제품을 생산하는 한 회사가 있다. 이 회사에서는 $N_{1},…,N_{n}$ 제품을 생산하는데, 생산을 위해 필요한 자원들은 $R_{1},…,R_{m}$ 이라고 하자. 이 때, 제품 $N_{j}$을 생산하기 위해서는, 자원 $R_{i}$가 $a_{ij}$ 단위 필요하다. $R_{i}$의 총량이 $b_{i}$ 라면, 상품 $N_{j}$ 가 얼마나 생산되는지 $x_{j}$의 최대값을 구하라. (단, 모든 자원을 사용가능하고 가장 이상적인 상황에서 남는 자원은 없다.)
예시에 제시된 상황에서 구해야하는 값은 $x_{1},x_{2},…,x_{n}$이고, 이 때 자원 $R_{n}$ 사용량에 대한 수식은 다음과 같다.
\[a_{i1}x_{1} + a_{i2}x_{2} + \cdots + a_{in}x_{n} = b_{i}\]그렇다면 자원 $R_{1},R_{2},…, R_{n}$에 대해서도 수식으로 표현하여 나열해보면 다음과 같다.
\[a_{11}x_{1} + a_{12}x_{2} + \cdots + a_{1n}x_{n} = b_{1}\] \[a_{21}x_{1} + a_{22}x_{2} + \cdots + a_{2n}x_{n} = b_{2}\] \[\vdots\] \[a_{m1}x_{1} + a_{m2}x_{2} + \cdots + a_{mn}x_{n} = b_{m}\] \[(a_{ij} \in \mathbb{R}, b_{i} \in \mathbb{R})\]위와 같은 표현식을 연립 일차 방정식의 일반형이라고 하고, 알고자하는 값인 $x_{1},…,x_{n}$을 미지수라고 한다.
이 때, 위의 연립 일차 방정식을 만족하는 모든 $(x_{1},…,x_{n})$ 들을 일차 연립 방정식의 해라고 한다.
- Chapter 2에서 배울 행렬 곱셈의 정의에 의하여, 이는 다음과 같이 표현될 수도 있다는 점을 알아두자.
연립 일차 방정식의 해
다음 예시 2.2 와 함께 연립 일차 방정식의 특징에 대해 조금 더 자세히 알아보려고 한다.
연립 일차 방정식의 해의 종류는 3가지가 존재한다.
\[\begin{matrix} x_{1}\\x_{1}\\2x_{1} \end{matrix} \begin{matrix} +\\-\\\\ \end{matrix} \begin{matrix} x_{2}\\x_{2}\\\\ \end{matrix} \begin{matrix} +\\+\\+ \end{matrix} \begin{matrix} x_{3}\\2x_{3}\\3x_{3} \end{matrix} \begin{matrix} =\\=\\= \end{matrix} \begin{matrix} 3\\2\\1 \end{matrix} \quad \begin{matrix} (1)\\(2)\\(3) \end{matrix}\]예시 2.2
다음과 같은 연립 일차 방정식들이 있다.
\[\begin{matrix} x_{1}\\x_{1}\\\\ \end{matrix} \begin{matrix} +\\-\\\\ \end{matrix} \begin{matrix} x_{2}\\x_{2}\\x_{2} \end{matrix} \begin{matrix} +\\+\\+ \end{matrix} \begin{matrix} x_{3}\\2x_{3}\\x_{3} \end{matrix} \begin{matrix} =\\=\\= \end{matrix} \begin{matrix} 3\\2\\2 \end{matrix} \quad \begin{matrix} (1)\\(2)\\(3) \end{matrix}\]$(1)$과 $(2)$를 연립하여 계산하면 $2x_{1}+3x_{3}=5$ 의 수식이 나오는데, 이는 $(3)$과 모순되는 식이기 때문에 성립하지 않는다. 따라서, 위의 연립 일차 방정식은 해가 없다.
또 다른 연립 일차 방정식을 보자.
\[\begin{matrix} x_{1}\\x_{1}\\2x_{1} \end{matrix} \begin{matrix} +\\-\\\\ \end{matrix} \begin{matrix} x_{2}\\x_{2}\\\\ \end{matrix} \begin{matrix} +\\+\\+ \end{matrix} \begin{matrix} x_{3}\\2x_{3}\\3x_{3} \end{matrix} \begin{matrix} =\\=\\= \end{matrix} \begin{matrix} 3\\2\\5 \end{matrix} \quad \begin{matrix} (1)\\(2)\\(3) \end{matrix}\]위의 방정식의 $(1)$에서 $(3)$을 빼면 $x_{1}=1$ 이 된다.
$(1)$과 $(2)$을 더하면 $2x_{1} + 3x_{3} = 5$ 에서, 위의 식을 연립하여 $x_{3}=1$ 를 얻을 수 있다.
결론적으로, $x_{2}=1$ 가 성립하므로, $(1,1,1)$은 위의 연립 일차 방정식의 유일한 해가 된다.
마지막으로 아래 연립 일차 방정식을 보자.
\[\begin{pmatrix} \cfrac{5}{2}+\cfrac{3}{2}a, \cfrac{1}{2}+\cfrac{1}{2}a, a \end{pmatrix} , a \in \mathbb{R}\]위의 방정식에서 $(1) + (2) = (3)$ 이 되므로, $(3)$ 을 생략할 수 있다.
그럼, $(1)$ 과 $(2)$ 부터 $2x_{1} = 5 - 3x_{3}$ 의 식과 $2x_{2} = 1 + x_{3}$ 의 식을 얻을 수 있고, $x_{3}$ 을 $x_{3} = a \in \mathbb{R}$ 인 자유변수로 놓을 때 다음과 같은 해를 얻을 수 있다.
그러므로, 마지막 연립 일차 방정식은 무한한 해를 가지고 있다고 한다.
예시 2.2 에서 알아봤듯이, 연립 일차 방정식의 해의 종류는 다음과 같이 3가지가 존재한다.
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해가 없음 (no)
-
유일한 해 (exactly one)
-
무한한 해 (infinitely many solutions)
요약
- 일반적인 형태의 연립 일차 방정식
행렬 곱셈의 정의에 의하여, 다음과 같이 표현될 수도 있다.
\[\begin{bmatrix} a_{11}&a_{12}&a_{13}&\cdots &a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}&\cdots &a_{2n}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}&\cdots &a_{3n}\\\vdots &\vdots &\vdots &&\vdots \\a_{m1}&a_{m2}&a_{m3}&\cdots &a_{mn}\\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_{1}\\x_{2}\\x_{3}\\\vdots \\x_{n} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} b_{1}\\b_{2}\\b_{3}\\\vdots \\b_{m} \end{bmatrix}\]-
연립 일차 방정식의 해의 종류 3가지
-
해가 없음 (no)
-
유일한 해 (exactly one)
-
무한한 해 (infinitely many solutions)
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