2.8 Affine Spaces

Chapter 8 : Affine Spaces

Edited by / 김정훈 (jj150618)

---

• 목차

  1. Affine Subspaces
     1. Inhomorgeneous system of linear equations and affine subspaces
  2. Affine mapping

---

Affine Subspaces

• $V$: vector space
• $x_0 \in V$
• $U \subset V$

\[L = x_0 + U = \{x_0 + u: u \in U \} = \{v \in V \mid \exists u \in U: v = x_0 + u \} \subset V\]

위의 조건을 만족할 때, L은 affine subspace이며, V의 linear manifold로 불리기도 한다.

다음과 같이 두 개의 affine subspace가 있을때,

• $L = x_0 + U$
• $\tilde{L} = \tilde{x_0} + \tilde{U}$

$L \subset \tilde{L}$ if and only if $U \subset \tilde{U}$ and $x_0 - \tilde{x_0} \in \tilde{U}$가 성립한다.

Inhomorgeneous system of linear equations and affine subspaces

• $A \in R ^{m \times n}$, $x \in R^m$, $x \neq 0$

\(A \lambda = x\)의 해는 empty set 혹은 affine subspace(n - rk(A))이다.

\(\lambda_1 b_1 + \cdots + \lambda_n b_n = x \text{ where } (\lambda_1, \cdots, \lambda_n) \neq (0, \cdots, 0)\)의 해는 hyperplane이다.

Affine mapping

• two vector space V, W
• Linear mapping $\Phi$: $V \rightarrow W$ and $a \in W$

\[\Phi:V \rightarrow W \\x \rightarrow a + \Phi(x)\]

• 모든 affine mapping은 linear mapping 과 translation으로 표현할 수 있다.
• Affine mapping과 Affine mapping의 합성함수는 Affine mapping이다.

---

'선형대수' 카테고리의 다른 글

1. 연립 일차 방정식의 해
2. 벡터 공간
3. 선형 독립
4. 기저와 계수
5. 선형 매핑

---

---