각도와 직교
Chapter 4 : Angles and Orthogonality
Edited by / 서원형 (wonhyeongseo) 
벡터 사이의 각도
내적곱은 벡터의 길이와 두 벡터 사이의 거리를 정의할 뿐 아니라, 두 벡터 사이의 각도 $w$ 를 정의함으로써 벡터공간 내의 기하학을 풀어냅니다. $\mathbb{R}^2$ 나 $\mathbb{R}^3$ 에서의 직관처럼, 코시-슈바르츠 부동식을 통해 각도를 정의해봅시다.
먼저 $x \neq 0, y \neq 0$ 을 가정하면, (3.24) \(-1 \leqslant \frac{\left\langle x, y \right\rangle}{\left\| x \right\|\left\| y \right\|} \leqslant 1.\)
그러므로, 각도 $w \in [0, \pi]$ 가 존재하고, 아래 수식을 만족합니다. (3.25) \(\cos w = \frac{\left\langle x, y \right\rangle}{\left\| x \right\|\left\| y \right\|}.\)
$w$ 는 $x, y$ 벡터 사이의 각도입니다. 직관적으로 얼마나 방향이 비슷한지 알려주는 것이죠. 만약 점곱으로 $x$ 와 $y=3x$ 의 각도를 구하면 어떤 값이 나올까요? (힌트: y는 x벡터를 3배로 늘린 벡터)
- $\pi$
- $\pi / 2$
- $0$
$x = [1, 2, 3]^T$ 와 $y = [-1, 3, 2]^T$ 사이의 각도를 구해봅시다.
직교성 (orthogonality)
내적곱의 중요한 특징은 두 벡터가 서로 직교인지 알게 해주는 것입니다. 두 벡터 $x, y$는 $\left\langle x, y \right\rangle = 0$ 일때만 직교합니다. $x \bot y$ 로 표기합니다. 또 $\left|\left| x \right|\right| = 1 = \left|\left| y \right|\right|$ , 즉 단위 벡터들이라면 정규 직교 (orthonormal)이라고 표현합니다.
여기서 주의할 점은 0-벡터는 벡터 공간 내의 모든 벡터와 직교한다는 점입니다.