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길이와 거리

Chapter 2 : Lengths and Distances

Edited by / 석주영 (scottsuk0306) scottsuk0306



길이와 거리

내적은 놈과 매우 밀접한 관계에 있는데, 이는 내적으로부터 놈을 정의할 수 있기 때문이다.

x:=x,x

하지만, 모든 놈이 내적으로부터 나오지는 않는다. 섹션 3.1에서 살펴본 맨해튼 놈이 그 예가 될 수 있다. 해당 섹션에서는 내적으로부터 도출된 놈에 초점을 맞춰서 길이, 거리, 각도와 같은 기하학적인 개념에 대해 소개한다.

코시-슈바르츠 부등식 (Cauchy-Schwarz Inequality)

내적공간 (V,,)에서 도출된 $\lVert \cdot \rVert는 코시-슈바르츠 부등식을 만족한다.

|x,y|xy

거리(distance)와 거리 함수(metric)

내적공간 (V,,)에서 거리 d(x,y)와 거리 함수 d는 다음과 같이 정의된다.

d(x,y):=xy=xy,xy
d:V×VR(x,y)d(x,y)

거리 함수 d는 다음을 만족한다.

  • Positive Semidefiniteness: d(x,y)geq0x,yV
  • Symmetric: d(x,y)=d(y,x)x,yV
  • Triangle Inequality: d(x,z)d(x,y)+d(y,z)

한 가지 주의해야할 점은 내적과 거리 함수가 만족하는 성질은 비슷하지만 작동 방식은 반대라는 점이다. 비슷한 두 벡터 x,y의 내적 값은 크지만 거리는 작다.


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