길이와 거리
Chapter 2 : Lengths and Distances
Edited by / 석주영 (scottsuk0306) 
길이와 거리
내적은 놈과 매우 밀접한 관계에 있는데, 이는 내적으로부터 놈을 정의할 수 있기 때문이다.
\[\begin{align} \lVert x \rVert := \sqrt{\langle x, x \rangle} \end{align}\]하지만, 모든 놈이 내적으로부터 나오지는 않는다. 섹션 3.1에서 살펴본 맨해튼 놈이 그 예가 될 수 있다. 해당 섹션에서는 내적으로부터 도출된 놈에 초점을 맞춰서 길이, 거리, 각도와 같은 기하학적인 개념에 대해 소개한다.
코시-슈바르츠 부등식 (Cauchy-Schwarz Inequality)
내적공간 $(V, \langle \cdot, \cdot \rangle)$에서 도출된 $\lVert \cdot \rVert는 코시-슈바르츠 부등식을 만족한다.
\[\begin{align} |\langle x, y \rangle| \leq \lVert x \rVert \lVert y \rVert \end{align}\]거리(distance)와 거리 함수(metric)
내적공간 $(V, \langle \cdot, \cdot \rangle)$에서 거리 $d(x,y)$와 거리 함수 $d$는 다음과 같이 정의된다.
\[\begin{align} d(x, y) := \lVert x-y \rVert = \sqrt{\langle x-y, x-y \rangle} \end{align}\] \[\begin{align} d: V \times V \rightarrow \mathbb{R} \\ (x,y) \mapsto d(x,y) \end{align}\]거리 함수 $d$는 다음을 만족한다.
- Positive Semidefiniteness: $d(x,y) geq 0 \quad x, y \in V$
- Symmetric: $d(x,y) = d(y,x) \quad \forall x,y \in V$
- Triangle Inequality: $d(x,z) \leq d(x,y) + d(y,z)$
한 가지 주의해야할 점은 내적과 거리 함수가 만족하는 성질은 비슷하지만 작동 방식은 반대라는 점이다. 비슷한 두 벡터 $x,y$의 내적 값은 크지만 거리는 작다.