회전
Chapter 9 : Rotation
Edited by / 박은비 (bluvory) 
회전
length와 angle이 보존되는 것은 orthogonal transformation matrix에 의한 linear mapping의 두가지 특성인데, 이런 orthognal transformation matrix 중 특별한 경우인 rotation을 이번 장에서 다룬다. rotation이란 linear mapping의 한 종류로 원래 plane을 angle만큼 회전시키는 것이다
3.9.1 Rotation in $R^2$
3.9.2 Rotation in $R^3$
$R^2$와는 다르게 $R^3$에서의 rotation은 one-dimensional axis를 고정시키고 two-dimensional plane을 회전시키는 변환이다. 가장 쉽게 general rotation matrix를 구하는 방법은 앞에 $R^2$의 rotation과 같이 standard basis인 $e_1, e_2, e_3$가 어떻게 변환되는지 보고 $Re_1, Re_2, Re_3$가 각각 orthogonal하는지 확인하는 것이다.
rotation angle을 확인하기 앞서 counterclockwise가 어떤 방향인지 정의할 필요가 있는데 counterclockwise는 axis를 위로 향하게 한 상태에서 변환의 end 부분이 origin으로 다시 돌아가는 방향으로 정의한다
- $e_1$을 axis로 rotation
- $e_2$을 axis로 rotation
- $e_3$을 axis로 rotation
3.9.4 properties of rotation
rotation에는 def 3.8 에서의 orthogonal matrix에서 유도될 수 있는 아래와 같은 성질이 있다
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rotation은 거리를 보존한다. 즉 rotation의 두 point 사이의 거리는 변환 후에도 변하지 않는다 $||x-y|| = ||R_θ(x)-R_θ(y)||$
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rotation은 angle을 보존한다. 즉 $R_θ(x), R_ θ(y)$ 사이의 각도는 $x, y$ 사이의 각도와 일치한다
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3차원 혹은 그 이상의 차원에서의 rotation은 일반적으로 교환법칙이 성립하지 않는다 오직 2차원 벡터의 rotation일 때만 교환법칙이 성립한다. $R(Φ)R(θ)=R(θ)R(Φ)$ 따라서 같은 점이라도 어떤 순서로 rotation하는지가 매우 중요하다